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| 本文作者： 陳彩嫻 | 2021-10-10 12:14 |
上個月，我們報(bào)道了MIT在讀中國博士生、清華大學(xué)機(jī)械工程系校友楊珩開發(fā)用于提高自動駕駛安全性的可認(rèn)證感知算法一文，引起了部分讀者的關(guān)注。然而，當(dāng)時(shí)的報(bào)道較簡略，因此AI科技評論親自聯(lián)系了楊珩本人，圍繞「可認(rèn)證感知算法」這一較為陌生的概念再次進(jìn)行了補(bǔ)充交流。
那么，什么叫做「可認(rèn)證感知算法」（Certifiable Perception Algorithm）？它對自動駕駛，或其他機(jī)器人（Robotics）方向的研究意義是什么？它的研究難點(diǎn)又是什么？
事實(shí)上，「可認(rèn)證感知算法」最早是一個數(shù)學(xué)上的概念，在2016年由蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH）數(shù)學(xué)系的教授、2018年斯隆研究獎獲得者 Afonso S. Bandeira 在“A Note on Probably Certifiably Correct Algorithms”一文中提出。
針對許多優(yōu)化問題在獲得一個解時(shí)、沒有后驗(yàn)（a posteriori）證明該解是否為最優(yōu)解的情況，Bandeira 提出了一個 PCC（Probably Correct Certifiable）算法，不僅可以解決經(jīng)典的優(yōu)化實(shí)例問題，還可以提供一個「后驗(yàn)證書」（a posteriori certificate），向研究人員證明該解為最優(yōu)解。
在 Bandeira 的這篇工作中，PCC算法也被應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)的某些場景，比如學(xué)習(xí)隨機(jī)塊模型（stochastic block model）。本質(zhì)上，“certificate”是一個數(shù)學(xué)測度，揭示了研究人員求得的解與全局最優(yōu)解之間的差距。例如，當(dāng)差距非常小，只有一億分之一時(shí)，那么研究人員就能知道，該解已是近似最優(yōu)，可以視為全局最優(yōu)。
受此啟發(fā)，楊珩從2018年開始研究可認(rèn)證感知算法，如今已取得一系列成果。
1. 什么是可認(rèn)證算法？
在自動駕駛中，可認(rèn)證感知算法存在的核心意義，是提高車輛在駕駛過程中的安全性，防止意外事故的發(fā)生。
如下圖所示，自動駕駛車輛A（即“robot”，機(jī)器人）在路上行駛的過程中，如“看”到一輛車B，用攝像頭拍攝一張照片，照片中會包含該車輛 B。我們假設(shè)車輛A的內(nèi)存里有B的3D模型，而車輛A的任務(wù)是估測B的位置和姿態(tài)（6D pose, 3D rotation and translation）。這時(shí)，A 會用一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)檢測出所攝2D平面圖像上的所有關(guān)鍵點(diǎn)（keypoints），如車輪、車燈、鏡子等等，然后將這些所識別出的目標(biāo)與3D模型上的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)（data association），識別物體是車鏡、車燈或其他元件。
如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所檢測出的關(guān)鍵點(diǎn)與數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)都是正確的，那么自動駕駛的視覺感知挑戰(zhàn)（比如估測車輛B的位置和姿態(tài)）在轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)優(yōu)化問題時(shí)則相對好解。但在實(shí)踐中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)往往會出錯。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前端可能會輸出錯誤的關(guān)鍵點(diǎn)，比如，有可能將檢測出來的鏡子識別為汽車的輪子，從而建立一些不正確的關(guān)聯(lián)，也就是所謂的「異常值」（outliers，上圖的紅色連線）。
在這種情況下，我們往往難以區(qū)分 2D 平面圖像與 3D 汽車模型中的對應(yīng)關(guān)系中，哪些是正確數(shù)據(jù)（inliers）、哪些是異常數(shù)據(jù)（outliers）。這時(shí)，自動駕駛車輛 A 在估測車輛 B 的姿態(tài)時(shí)，如果估計(jì)正確，那么線框圖會對應(yīng)地重疊在 A 所拍攝的 2D 圖像上；若估計(jì)錯誤，則 2D 圖像上會出現(xiàn)許多紅點(diǎn)（如上圖最右上角所示）。
一旦估計(jì)出錯，自動駕駛車輛則可能發(fā)生碰撞等安全事故問題。比方說，自動駕駛車輛A感知到同時(shí)行駛在一條馬路上的車輛 B 的存在。B 距離 A 實(shí)際只有3米，但如果估計(jì)錯誤，判斷 B 距離 A 有10米，那么 A 可能就會加速行駛，造成嚴(yán)重的事故。
所以，用于估計(jì)車輛姿態(tài)的算法不僅要告訴研究人員一個正確的結(jié)果，還要解釋這個結(jié)果有多么地正確（即解與最優(yōu)解之間的距離）。當(dāng)算法失敗時(shí)，算法也應(yīng)向駕駛自動車輛的人（或者系統(tǒng)）傳遞一個信號，使駕駛員能采取其他的行動，比如接管方向盤、停車或及時(shí)尋求他人支援等。這，也是「可認(rèn)證感知算法」的具體內(nèi)涵。因此，在「安全第一」的自動駕駛領(lǐng)域，可認(rèn)證感知算法具有深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義。
但話說回來，「可認(rèn)證算法」所扮演的角色雖然聽起來很簡單，研究起來卻并不容易，因?yàn)樵谶@個研究的過程中涉及到了對截?cái)嘧钚《朔ǎ═runcated Least Squares, TLS）的求解。TLS是一個非凸優(yōu)化問題，其可行域集合可能存在局部最優(yōu)點(diǎn)，但求解全局最優(yōu)的難度相當(dāng)于NP難題。
因此，盡管早期歐洲有些學(xué)校也沿著可認(rèn)證算法的方向研究，但他們解決問題的切入點(diǎn)只停留在建模階段，且面向的場景為沒有異常值的情況。
基于Bandeira的工作，楊珩與他的博士導(dǎo)師 Luca Carlone 還就「可認(rèn)證算法」制定了更高的標(biāo)準(zhǔn)。
假設(shè)算法為 A，A 的目標(biāo)是解決優(yōu)化問題 P，而優(yōu)化問題取決于輸入數(shù)據(jù) D。那么，如果該算法是可認(rèn)證的，則必須同時(shí)滿足三個條件：
1）A 必須是多項(xiàng)式算法（polynomial algorithm），理論上必須要快；
2）在解決 P 后，A 要么得到一個全局最優(yōu)解，以及證明該解為全局最優(yōu)的“證書”（certificate）；要么失敗，沒有得到全局最優(yōu)解，只得到所謂的“measurable suboptimality”，即所求得的解與全局最優(yōu)解之間的距離；
3）對于大部分 D，A 都能將 P 解到全局最優(yōu)。
第三個條件由楊珩與 Luca Carlone 添加，目的是為了排除近似算法。所謂“近似算法”（approximate algorithm），指的是算法得到的解永遠(yuǎn)只能是近似最優(yōu)。在自動駕駛中，近似算法相當(dāng)于在任何情況下都無法取得全局最優(yōu)解，一直“報(bào)錯”，這會對駕駛安全造成極大隱患。
所以，在楊珩與團(tuán)隊(duì)的假設(shè)中，A 只有在處理大多數(shù)不同情形時(shí)能得到全局最優(yōu)解，才能被稱為「可認(rèn)證算法」，滿足自動駕駛的安全需求。
2. “非凸”轉(zhuǎn)“凸”
2018年12月，楊珩加入麻省理工學(xué)院信息與決策系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室（Laboratory for Information & Decision Systems, LIDS），師從MIT萊納多職業(yè)發(fā)展副教授 Luca Carlone，開始從事計(jì)算機(jī)視覺與機(jī)器人的結(jié)合研究。
一開始，他們只是從一個小的點(diǎn)云配準(zhǔn)/重建（point cloud registration）問題出發(fā)。所謂“點(diǎn)云配準(zhǔn)”，指的是求兩個點(diǎn)云之間的旋轉(zhuǎn)平移矩陣，將源點(diǎn)云變換到與目標(biāo)點(diǎn)云相同的坐標(biāo)系下。比如，一輛車無人車分別處在 a 點(diǎn)與 b 點(diǎn)，用無人車點(diǎn)雷達(dá)分別對著一棟樓掃一下，再把兩張掃描的圖融合在一起。
他們針對這個問題設(shè)置了一個可認(rèn)證算法，并在2019年1月投了一篇文章到機(jī)器人頂會 RSS（Robotics: Science and System），文章被接收。在這篇工作中，他們使用TLS來重新設(shè)計(jì)點(diǎn)云優(yōu)化估測問題，使估計(jì)對大部分虛假的點(diǎn)到點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系不敏感，可以容忍高達(dá) 99% 的異常值（outliers）。
圖注：楊珩被 RSS 2019 接收的工作，論文地址為 https://arxiv.org/pdf/1903.08588.pdf
但是，他們在 RSS 2019 中提出的可認(rèn)證算法精確度并不夠突出，有時(shí)無法滿足上述所說的第三個條件（對大部分輸入數(shù)據(jù)都能獲得最優(yōu)解）。許多時(shí)候，該算法得到的差距至多是 1e-2、1e-3，而不是1e-6或1e-10等接近0的差距。
從 RSS 2019 開始，他們就一直在研究可認(rèn)證算法。
2019年2月左右，楊珩用兩周時(shí)間獨(dú)自琢磨，看了許多數(shù)學(xué)資料，嘗試換一種對原問題（TLS）的求解方法。他從一個數(shù)學(xué)思維出發(fā)，提出了半正定規(guī)劃（Semidefinite Programming）松弛，將非凸優(yōu)化問題 TLS 轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。這個方法十分成功，他們投到了 ICCV 2019，被成功接收。
圖注：楊珩被 ICCV 2019 接收的工作，論文地址為 https://arxiv.org/pdf/1905.12536.pdf
對楊珩來說，ICCV 2019 的這篇工作有里程碑式的紀(jì)念意義：因?yàn)槟瞧恼率堑谝粋€能將有異常值（outliers）的機(jī)器人感知問題在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)（polynomial time）解到全局最優(yōu)（global optimality）的工作。我們設(shè)計(jì)的半正定規(guī)劃松弛（SDP relaxation）是extremely tight，那個算法幾乎對所有問題都能得到全局最優(yōu)，而且它解的原問題是一個帶有二元變量（+1 和 -1，mixed integer）的非凸問題。這種問題是一個NP-hard問題。
Wahba 問題，又稱為“旋轉(zhuǎn)搜索”，旨在找到最佳旋轉(zhuǎn)以在給定的對應(yīng)關(guān)系下對齊兩組向量觀察，是許多計(jì)算機(jī)視覺和機(jī)器人應(yīng)用中的基本研究（比如可以用作衛(wèi)星的定位）。在 ICCV 2019 中，楊珩針對大量向量觀測值為異常值（outliers）的情況，提出了第一個多項(xiàng)式時(shí)間可證明的最優(yōu)方法來解決 Wahba 問題。
在這篇工作中，除了使用 TLS 成本來制定 Wahba 問題，他們還開發(fā)了凸半定規(guī)劃（SDP）松弛來解決非凸問題。他們提出可認(rèn)證算法 QUASAR （基于 QUAternion 的半定松弛法，用于魯棒對齊），即使在面臨大量噪聲與異常值的情況下（比如多余95%的異常值），他們的松弛也很“緊”，算出可證明的全局最優(yōu)解（即松弛是精確的），優(yōu)于魯棒的局部優(yōu)化算法 RANSAC。
“非凸”轉(zhuǎn)“凸”，是楊珩提出的算法能夠在大部分輸入數(shù)據(jù)中求得全局最優(yōu)解的關(guān)鍵點(diǎn)。憑借這一主導(dǎo)思想以及后續(xù)的一系列工作，楊珩獲得 ICRA 2020 的機(jī)器視覺最佳論文獎，還入圍了 RSS 2021 最佳論文獎最終名單。
如前所述，TLS是一個非凸優(yōu)化問題，基本框架如下：
非凸問題幾乎是無法快速求得全局最優(yōu)解的，但是，我們可以通過凸松弛方法，將非凸問題轉(zhuǎn)為凸問題。這個過程就相當(dāng)于以退為進(jìn)：當(dāng)你面對一道難題（如非凸問題）、不知所措時(shí)，你可以先把它轉(zhuǎn)化成一個較為簡單的問題（如凸問題），然后去求解這個簡單的問題。解完簡單的問題后，你會知道簡單的問題 B 與原問題 A 是否等價(jià)。
更有意思的是，在解出簡單問題 B 之前，你并不知道簡單問題 B 是否與難問題 A 是否等價(jià)。但當(dāng)你解完 B 后，你會檢驗(yàn)該解是否滿足原問題的某些條件、從而推測問題 B 與問題 A 是否等價(jià)。如果滿足，那么凸問題被解，實(shí)際上也就意味著原來的非凸問題已經(jīng)解決。
「有點(diǎn)“事后諸葛亮”的感覺。」楊珩形容。從理論上講，一般性的凸問題也是NP-hard問題，目前在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)是不可求解的，但極個別凸問題，比如SDP的優(yōu)點(diǎn)是：可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求出全局最優(yōu)解。在這個凸問題中，所有局部最優(yōu)都是全局最優(yōu)。
在“非凸”轉(zhuǎn)“凸”的過程中，楊珩的靈感也源自一個非常著名的數(shù)學(xué)“松弛”理論：2001年，法國數(shù)學(xué)家 Jean B. Lasserre 在數(shù)學(xué)頂刊《SIAM Journal on Optimization》上發(fā)表了一篇著名的文章，叫“Global optimization with polynomials and the problem of moments”（引用量已超過2600），里面提到：
非凸問題永遠(yuǎn)不可能等價(jià)于凸問題，但如果滿足一定條件，我們就可以用一個足夠大的凸問題來逼近/解決一個非凸問題。不過，我們并不明確該非凸問題有多大，它可能是無限大。
這是一個十分優(yōu)美的理論。假設(shè)非凸問題是迷霧中的一座小島，那么凸問題就是一片不斷在尋找島嶼邊界的汪洋，摸索，定義，直至幾乎全部包圍，不斷接近真實(shí)的全貌。
但也不難推測，在這個“松弛”的過程中，研究會面臨兩個難點(diǎn)：
1）如何用一個足夠小的凸問題來解決非凸問題？比方說，原來的非凸問題可能只有100個參數(shù)要求解，但你要解的凸問題可能有100萬個參數(shù)。也就是說，你需要解一個非常大的凸問題，才能解原來的非凸問題。
2）楊珩觀察到，雖然只要解決一個包含100萬參數(shù)的凸問題、就能解原來只有100個參數(shù)的凸問題，但目前在數(shù)學(xué)上，沒有一個求解器可以解決這么大的凸問題。在楊珩的研究中，他所用于求解非凸問題的凸問題是“半正定規(guī)劃”問題（Semidefinite Programming, SDP），屬于凸問題里最難的一類。
從理論上講，要解決原來的非凸問題 TLS，轉(zhuǎn)換的凸問題可能要無限大，不止100萬個參數(shù)，也可能是1000萬、1億、10億甚至上百億。針對第一個難點(diǎn)，楊珩及團(tuán)隊(duì)用真實(shí)計(jì)算顯示：轉(zhuǎn)化的凸問題（即SDP問題）不需要無限大，只需要一個最小的凸問題（參數(shù)量為100萬)，即可解決原來的非凸問題。
而且，在將非凸問題（下圖左）轉(zhuǎn)為凸問題（下圖右）的過程中，算法不僅在凸問題上求解，還會將凸問題的解投射到原來的非凸問題中，來回求解。在這個過程中，非凸問題的解會加速凸問題的求解，非凸問題的局部最優(yōu)也可以映射到凸問題的頂點(diǎn)（vertexes），加速求解。目前，他們的工作是第一次在SDP求解中用到了這種「不舍原問題」的求解思想，極具創(chuàng)新。
而對于第二個難點(diǎn)，楊珩他們所面臨的難點(diǎn)是：目前市面上現(xiàn)有的求解器最多只能求解規(guī)模為小到中等的 SDP 問題。所以，他們只能自己研發(fā)求解器。
3. 研發(fā)求解器 STRIDE
找到全局最優(yōu)解，與證明全局最優(yōu)解，是兩碼事。比如，在ICRA 2020的機(jī)器視覺最佳論文獎中，楊珩所提出的算法便能快速找到全局最優(yōu)解，但是無法證明該解是全局最優(yōu)，即找不到一個明確的“證書”（certificate）來佐證。
楊珩解釋，從本質(zhì)上看，Robotics（關(guān)于機(jī)器的學(xué)科）的核心是優(yōu)化，車輛的3D姿態(tài)估計(jì)便是在解一個優(yōu)化問題。不僅是感知，自動駕駛中的車輛控制、規(guī)劃等，都是在解決優(yōu)化問題。
針對不同的優(yōu)化問題，研究人員會使用不同的優(yōu)化框架，并根據(jù)某個特定的框架尋找是否有合適的求解器。研究分為兩步進(jìn)行：建模（modeling）與求解（solving）。
所謂「建模」，就是將一個真實(shí)世界的問題（如上述所說的自動駕駛汽車感知周圍事物）轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題。建模完成后，解決這個數(shù)學(xué)優(yōu)化問題的過程就叫做「求解」。一般情況下，目前在機(jī)器人（Robotics）領(lǐng)域，大多數(shù)工作都是只做建模，僅依靠現(xiàn)存的求解器來解決數(shù)學(xué)上的優(yōu)化問題。楊珩的博士導(dǎo)師 Luca Carlone 此前便主要做建模。
但在研究可認(rèn)證算法的過程中，他們發(fā)現(xiàn)，如果只做建模是無法解決100萬參數(shù)量的問題。市面上也沒有成熟的SDP求解器可以幫助他們解決這個問題，所以他們只能自己去開發(fā)求解器。
從2019年開始，他們就在尋找適合的求解器。一開始，他們的問題也沒有包含那么多的變量，現(xiàn)有求解器已能滿足這個凸問題的計(jì)算要求。直到去年9月，他們的研究要面臨越來越多的參數(shù)量，才發(fā)現(xiàn)「還是得自己開發(fā)求解器，因?yàn)楝F(xiàn)有的求解器解決不了我們的問題。」
從去年9月到今年4月，他們一直在嘗試不同的求解器，發(fā)現(xiàn)結(jié)果均不盡如人意。于是，他們就去找了新加坡國立大學(xué)數(shù)學(xué)系的系主任 Kim-Chuan Toh 和他的學(xué)生 Ling Liang，與他們一起合作，針對待解凸問題的特質(zhì)，用大約 4 個月的時(shí)間開發(fā)出了一個主要面向 SDP 問題的約束求解器——STRIDE。（STRIDE的源碼目前已在Github上公開：https://github.com/MIT-SPARK/STRIDE）
開發(fā)求解器的難點(diǎn)，主要是利用好待解決問題的優(yōu)勢。半正定規(guī)劃（SDP）是一個很大的數(shù)學(xué)問題，而楊珩要解決的SDP問題除了通用特征，還有一些特殊的性質(zhì)。比如，它的最優(yōu)解是低階（low rank）。
而有了 STRIDE 的助力后，楊珩所提出的可認(rèn)證感知算法在求解速度與準(zhǔn)確度上均有了明顯的提升。
如下圖所示，原來的非凸問題 TLS 只有 54 個變量時(shí)，它所對應(yīng)的凸問題 SDP 至少有 8154 個變量；TLS 只有 1004 個變量時(shí)，SDP 問題的變量超過了 300 萬。MOSEK 與 SDPT3 被視為目前最出色的 SDP 求解器，但隨著問題的變量越來越多，MOSEK 與 SDPT3 不僅無法求解，甚至連存儲該問題的內(nèi)存都沒有。
在上圖中，1e-10、1e-12等數(shù)值為精確度。數(shù)值越低，求解的精確度越高。從第 1 行到第 5 行，優(yōu)化的問題越來越大，測度（measurement）越來越多。回到一開始的例子，就是自動駕駛車輛周圍的汽車越來越多，汽車的關(guān)鍵點(diǎn)與連線也會越來越多。
實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)問題的維度（dimension）較低時(shí)，SDPT3 和 MOSEK 可以求解，但速度不到 STRIDE 的二分之一。比如，在維度為 104 時(shí)，MOSEK 的求解時(shí)間是 870 秒，而 STRIDE 只需 45 秒；維度為 204 時(shí)，MOSEK 無法求解，而其他算法雖然可以解，但卻解不到全局最優(yōu)，精確度不夠。當(dāng)維度達(dá)到 1004 時(shí)，即使給再多的運(yùn)行時(shí)間，其他求解器也無法達(dá)到與 STRIDE 相匹配的精確度。
楊珩介紹，他們所提出的算法是目前唯一能夠解決大規(guī)模一階（rank-one）SDP問題的方法。他們在百度的自動駕駛數(shù)據(jù)集 Apollo Scape （圖像采集自北京、上海與深圳）上做過實(shí)驗(yàn)，STRIDE 的性能明顯優(yōu)于 MOSEK 等求解器。
此前，他們的工作曾發(fā)表在 NeurIPS 2020 上，但當(dāng)時(shí)，算法只解決了 4 個常見的感知問題。加上 STRIDE 后，他們嘗試將算法拓展至更廣泛的設(shè)置下進(jìn)行，解決了 6 個感知問題，包括單點(diǎn)旋轉(zhuǎn)均勻（single rotation averaging）、多點(diǎn)旋轉(zhuǎn)均勻（multiple rotation averaging）、點(diǎn)云配準(zhǔn)、網(wǎng)格配準(zhǔn)、絕對姿態(tài)估計(jì)與分類感知。
求解器的核心思想是優(yōu)化與決策，而自動駕駛的運(yùn)行就是“robot”（汽車）一直在做決策。比如，自動駕駛車輛要從 a 點(diǎn)走到 b 點(diǎn)，而 a 點(diǎn)與 b 點(diǎn)之間有一個障礙物，那么，規(guī)劃一條從 a 點(diǎn)到 b 點(diǎn)的最短路線，便是一個近似優(yōu)化問題。
楊珩還介紹，STRIDE求解器不僅可以解決機(jī)器視覺問題，還有望解決一些數(shù)學(xué)問題。他們最近做了一些新的工作，便計(jì)劃投到數(shù)學(xué)類的期刊與會議上。
4. 數(shù)學(xué)不可或缺
目前，楊珩的工作還處于學(xué)者討論的階段，距離落地還有一段很長的距離。
盡管他們的算法在求解速度上已經(jīng)很快，但實(shí)際的求解時(shí)間也要 1 個小時(shí)。如果可認(rèn)證算法要在現(xiàn)實(shí)中落地，那么求解時(shí)間至少要從 1 個小時(shí)縮減到 1 秒。雷鋒網(wǎng)
「很多人認(rèn)為自動駕駛很簡單，那或許是因?yàn)樗麄冞€沒有體會到數(shù)學(xué)和科學(xué)計(jì)算有多難。」楊珩感嘆，「從 L1 到 L5，自動駕駛要解決的都是數(shù)學(xué)問題。越來越多人發(fā)現(xiàn)，自動駕駛不是只依靠神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就能成功。」雷鋒網(wǎng)
盡管如此，楊珩的可認(rèn)證感知算法仍有存在的意義：「我可以認(rèn)證，只是我現(xiàn)在認(rèn)證的時(shí)間比較長而已。」在未來，計(jì)算硬件的提升可能會帶來問題的突破。
對楊珩等癡迷理論研究的科研者來說，在研究可認(rèn)證算法的過程中，「非凸」轉(zhuǎn)「凸」的成功，才是一件比求解時(shí)間從 1 小時(shí)縮減到 1 秒更令人激動的突破。
在研究的過程中，楊珩受到許多數(shù)學(xué)知識的幫助與啟發(fā)，也取得了不少突破性的成果。因此，他覺得數(shù)學(xué)在視覺算法研究（和其他科學(xué)研究）中是一門十分重要的學(xué)科：
硬核數(shù)學(xué)問題會非常考驗(yàn)人的耐心。我覺得有時(shí)候也不是難不難的問題，而是你能不能花一天的時(shí)間看一篇數(shù)學(xué)文章，搞懂這篇文章的所有細(xì)節(jié)。有可能你看了5遍之后，你就會醍醐灌頂。在那一瞬間，這個方法成為了你自己的方法。一旦你掌握了這個方法之后，你就會發(fā)現(xiàn)這個方法特別地 powerful（強(qiáng)大），可以將它應(yīng)用到很多別的方案中。雷鋒網(wǎng)
如果有一天，你能想明白數(shù)學(xué)家是怎么理解問題的，可能你的境界就高了一層。
談到未來的研究方向，楊珩的愿望之一是用可認(rèn)證算法來指導(dǎo)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程，提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的安全性。
少年新馬，未來可期。
參考鏈接：
1. A. Bandeira. A note on probably certifiably correct algorithms. Comptes Rendus Mathematique, https://arxiv.org/pdf/1509.00824.pdf
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